2018年湖南大学金融与统计学院610数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:设
则
甶D 上无界的充要条件是存在
所以
当 有
这说明
使时, 有
【答案】充分性 因为这说明
在D 上无界.
在D 上无界, 所以
因此, 当取
必要性 因为
时, 存在点
有
2． 设函数f 在区间I 上连续, 证明:
（1）若对任何有理数（2）若对任意两个有理数
由f 的连续性得
（2
）设有两个实数由使得当
而当
, 满足可知
,
时,
时
,
有
有f （r ） =0, 则在I 上f （x ） =0;
则f 在I 上严格增.
使.
当并且）, 和
. 又因为
, 所以
【答案】（1）设x 0为中的任一无理数, 由有理数的稠密性知,
存在有理数列
为有理数时, f （r ）也为0, 于是, 在I 上f （x ）=0.
, 由有理数的稠密性知, 存在有理数r 1, r 2使得
,
两点连续.
,
存在
, 从而,
从而
. 再由
故f 在I 上严格递增.
3． 求证含参量广义积分
【答案】任取（1）当a>0时, 因为（2）当a=0时,
且充分小, 使得
的任何有界闭子区间上一致收敛.
的有界闭子区间[a, b] （a 收敛, 所以广义积分 当B>A>0时, 有 ①若 则 第 2 页，共 23 页 因为f （x ）在I 上连续, 所以f （x ）在 . 对于正数 （设； . 存在有理数 知, 在[a, b]上一致收敛. ②若故当 因为广义积分时, 即 时, 时, 收敛 , 所以存 , 当时 综合①, ②讨论, 当所以广义积分 关于 在[0, b] 上一致收敛. 由（1） （2）可知, 广义积 的任何有界闭区间上一致收敛. 二、解答题 4 ． 己知 为三维空间中的有界区域, 的边界为分段光滑的曲面 , 于是有 为外法向量, u （x , y , z ）在 上连续可偏导. 求证:【答案】不妨设 5． 求 （1） （2 ）（3） , 设 其中, 为可微函数 ; 其中, 为可微函数. 【答案】（1）本题有错误. 应改为 令 则 且收敛. 则 （2）令所以 , 于是 第 3 页， 共 23 页 , 则 （3）令x=tu, y=tv, z=tw, 故 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ | 6． 设 （2）对 趋于0? 应该怎样做才对; 这个不等式成立的一个充分 时, 相应的时, 相应的 定 可找到相应的N , 这是否证明了 由 设 即可. 所以, 当当 （1）对下列分别求出极限定义中相应的N :（3）对给定的是否只能找到一个N? 【答案】（1）对任意条件为 当 即 因此取 时 , 相应的 （2）在（1）中对义, 对任意正数 （3）对任意的正数 都找到了相应的N. 这不能证明趋于 0, 应该根据数列极限 求得 时, 都有 则当 都找到相应的N. 对于本题, 由 , 若存在N , 使得当 这样才能证明 时, 也成立. 因此, 对给定的 7． 讨论下列瑕积分的收敛性: （1） （3） （5） （2） （4） , 若能找到一个N , 则可以找到无穷多个N. 【答案】 （1）x=0是瑕点（2）由于故积分 _收敛. , 故积分收敛. , , 故x=l不是瑕点.x=0为惟一瑕点. 因 （3）x=l为瑕点（4）x=0 为瑕点. 当（5）知 收敛, 从而可知时, 积分发散. , 此时p=l, . 故积分, 这里 , 故当收敛. 又由 发散. 时, 积分收敛; , 由收敛. 知 第 4 页，共 23 页
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