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一、证明题

1． 设f , g 和h 为增函数, 满足

【答案】由于是

2． 证明:若级数

【答案】假设若发散. 3． 设

发散，收敛. 因

.

在xy 平面上的点集E 上一致连续. 与把点集E 映射为uv 平面上的

,

在E 上一致连续.

使得对一

切

, 因为f （u , v ）在D 上一致连续, 所

以

, . , , 只要

其中

当

, --故复合函数

,

时有

在E 上一致连续. , 有,

就有.

从而

.

, 对一

切

,

, ,

对一切

在E 上一致连续, 于是对上述

的

也发散与

则

也发散.

收敛，这与题设

. 发散矛盾，所以

证明:

和f , g , h均为增函数可得

故级数

点集D , f （u , v ）在D 上一致连续. 证明复合函数

【答案

】

, 只要又

二、解答题

4． 求由坐标平面及x=2, y=3, x+y+z=4所围的角柱体的体积.

【答案】立体V （如图）在xOy 面上的投射区域D —即积分区域为图中阴影部分, 所以V 的体积

图

5．

设

（i ）在（ii ）在试证明【答案】

先证明条件（ii ）, 存在因此, 当令不妨设下面证明对于当

因为

且 y

与y

0充分接近时, 可使

再将y 固定, 由条件（i

）, 存在因此

即

6． 求下列函数的周期:

（1） （2） （3） 【答案】（1）（2）由（3）

的周期是可知, 的周期

的周期

的周期是

. 故

的周期是

当所以

时

, 有

由条件（i ）得

利用（

ii ）及前面的结论,

存在.

当时

, 且

时, 且

有

, 根据柯西准则, 可证

存在.

就有

在点

的某邻域

1上, 对每个

上有定义

, 且满足

:

. , 存在极限

都有

（即对任意成立）.

存在

当

上, 关于x 一致地存在极限

时, 对所有x

, 只要

的周期

4和

6的最小公倍数是12

,

故的周期是

7． 应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性:

（1）（2）（3

）

【答案】（1

）记

时,

故

（2）因

判别法知原级数收敛.

,

故

从而级数

sinnr

的部分和数列

从而级数收敛.

（3）注意到数列

单调递减且

故只需考察级数

即级数

8． 计算积分

【答案】积分区域D 是由

及y=2所围成（如图所示）:

的部分和数列有界, 由狄利克雷判别法知原级数收敛.

的部分和数列

即S n 有界.

又

时, 数列

单调递减且

由狄利克雷判别法知原

则

又

故

时,

收敛, 由阿贝尔

单调且有界, 因此数列

关于n 单调有界. 又级数