2018年北京理工大学数学学院601数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设
试求【答案】当
时, 由
知
当
时, 有
2． 试作适当变换, 计算下列积分:
（1）（2）
【答案】 （1）令于是
（2）令于是
3． 求下列周期函数的傅里叶级数展开式:
⑴
（周期）；
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, 则
则
（2）（3）
⑷
（周期1）; （周期）；
（周期
）.
如图1所示
.
图1
【答案】（1）f （x ）是周期为的周期函数
因f （x ）按段光滑, 故可以展为傅里叶级数, 又f （x ）为偶函数, 故
所以由收敛定理,
时
（2）f （x ）是周期为1的周期函数
如图2所示
.
图2
显见f （x ）是按段光滑的, 故可展开成傅里叶级数,
由收敛定理, 当
时,
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当
时,
上式右端收敛到
又f （x ）为按段光滑的, 故可展开成傅里叶级数,
（3）f （x ）是以为周期的函数
由收敛定理知
时
（4
）f （
x ）是以偶函数, 故
为周期的函数
由收敛定理,
时
当
时, 上式右端收敛到0, 故上式对
均成立.
4． [1]求下列数列的极限:
（1）（2）（3）
[2]应用上题的结论证明下列各题: （1）（3）
（2）（4）
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显见按段光滑的, 故可展开成傅里叶级数, 又f （x ）是