2018年北京林业大学理学院601数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f :是否必为闭集?
【答案】不一定, 反例: （1）对于连续函数（2）对于连续函数
2． 给定曲面
（a , b , c 为常数）, 或由它确定的曲面z=z （x , y ）. 证明:
（1）曲面的切平面通过一个定点; （2） 函数z=z（x , y ）满足方程【答案】（1）因
及
与
不能同时为零, 得出
化简得
把它与过（a , b, c）点的切平面方程比较, 即知曲面z=z（x , y ）的切平面过定点（a , b , c ）. （2）对上式再求偏导数, 得
化简得
当
时, 即可看出
成立.
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为连续函数为任意开集' 为任意闭集, 试问, f （A ）是否必为开集?f （B ）
|为开集, 但f （A ） = [0, 1）不是开集.
为开集, 但f （B ） = （0, 1）不是闭集.
.
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由函连续可微性, 知
3．
设
在点
存在
,
在点
对x=a或y=b
时也成立. 在点
连续, 证明f （x , y ）在点
可微.
【答案】因为其中
. 于是有
存在,
由一元函数的可微性知
令
时有
故f （x , y ）在点
, 从而
可微.
. 因为fy （x , y ）在点
, 即
连续, 所以当
4
． 证明:若函数, 在光滑曲线L :
其中
为L 的弧长.
上连续, 则存在点
,
使得
【答案】
由于f
在光滑曲线L
上连续, 从而曲线积分又因f 在L 上连续, L 为光滑曲线, 所以定理知:
-使
与
存在, 且
在
上连续, 由积分中值
令
5． 设f 在[a, b]上有界,
, 显然, 所以
. 证明:若f （x ）在[a, b]上只有
在
上的振幅为,
, 取
为其间断点, 因
,
所以存
则f （x ）在[a, b]上可积 【答案】
设
在N
,
当n>N时,
,
上可积, 因此, 存在
, 从而f （x ）在
上的分割T%使
把
与合并, 就构成[a, b]的一个分割T , 则
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上至多只有有限个间断点, 由定理知f （x ）在
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（这时为f （x
）在
6． 证明:设则
在D 上一致收敛于f. 【答案】因为任意
故所以
及
上的振幅）. 故由可积准则知, f （x ）在[a, b]上可积.
, 若对每一个正整数n
有
, 有又
故
,
二、解答题
7． 设有力向
【答案】此即为求曲线积分
由Stokes 公式,
其中S 为C 围成的平面z=4上椭圆面, 方向为上侧, 由于
所以
令所以
8． 过直线
【答案】设
作曲面切点坐标为
曲面在点P 0的法向量为即
其法向量为
, 于是有
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, 试求单位质量M , 沿椭圆
移动一周（从z 轴正向看去为逆时针方向时）, 力F 所作的功.
:平面, 故
, 则,
且
的切平面, 求此切平面的方程. , 则
, 又过直线T 的平面方程为