2018年北京师范大学数学科学学院601专业基础之数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 为定义在
因为f 在
对任意的可得, 对任意的
即
若即 2． 设
b]上绝对且一致收敛.
【答案】因为又由
与
是[a, b]上的单调函数, 故对任意
均绝对收敛, 得
收敛, 从而
在[a, b]上一致
收敛, 即在[a, b]上绝对且一致收敛.
3． 按定义证明下列极限:
（1）（4）
（2）（5）
由
得
. 取
则当
时, 有
故
（2）限制
则
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上的增函数. 证明:
上的增函数
存在的充要条件是f 在
上有上确界. 设使得
上有上界.
则
由f 是增函数
【答案】设f 为定义在
上有上界, 由确界原理可知f 在且对任给的有
, 故
存在, 设为A , 对
而
在, 则对
上
,
, 有
与
当
时.
存在
,
令
上有上界.
在[a,
. 即
在都绝对收敛, 则
为增函数.
即
是[a, b]上的单调函数, 证明:若
（3）
【答案】（1）对任意给定的
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于是,
对任意给定的故
（3）
对任意给定的
由
它成立的一个充分条件是
取
则当
时有
故（4）若限制
则
对任给的故（5）
, 取
于是
对任给的
取
则当
时
. 就有
故
4． 试应用
定义证明:
时,
从而对任给
取
则当
时,
所以
【答案】因为当
则当
时, 有
得
只要取
* 则当
时, 有
二、解答题
第 3 页，共
27 页
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5． 应用分部积分法求下列不定积分:
【答案】 （1）（2）（3）
（4）（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
因此
（10）
因此
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