2018年闽南师范大学数学与统计学院615分析与代数之高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为但D 中
所以
不一定线性无关. 而
由于故
是
，因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
，因此
不是
的特解，从而否定A ，C.
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，则Ax=b的通解为（ ）
的基础解系. 又由
2． 设向量组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】方法1:令
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）.
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解
从而
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线性无关.
方法2:对向量组C ，由于线性无关，且
因为所以向量组线性无关.
3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，
如
则
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
（B-C ）（E-A ）=E-A
结合E-A 可逆，得B-C=E.
4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
秩A , 则线性方程组（ A. 有无穷多解 B. 必有惟一解
C.
D. 必有非零解
【答案】D 【解析】
阶方阵，且秩
秩
5． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使.
C. 存在可逆阵C 使
D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B
【答案】D 【解析】其中
则PAQ=B
二、分析计算题
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为（ ）.
.
）
6． 设是n 维欧氏空间V 中一组向量, 而
证明:当且仅当【答案】设
时,
则
线性无关.
是一个m 元二次型
.
线性无关的充分必要条件是对任意不全为0的
都有
即有
故是正定矩阵, 当然反之, 设若有则有
亦即
由于
7． 设
此方程组只有零解, 即有
为整系数多项式.
是是故
的整数根，则
故线性无关.
【答案】①若②若既约分数答:①因为则
的根，则对任意整数
. 设
（3）
由于整系数多项式且
及都是整数，故是本原的，则
都是整数（或直接利用“若必为整系数多项式.”这一定理）. 令
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整除
是
代入（3），
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