2018年南昌大学理学院814高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设线性方程组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】设
与
的解空间分别为
则
所以
即证
2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，
如
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
（B-C ）（E-A ）=E-A
结合E-A 可逆，得B-C=E.
3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.
记
A.
B.
C.
D. 【答案】D
【解析】由题设知，所以
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的解都是线性方程组
的解, 则（ ）.
则为（ ）.
则A=（ ）.
4． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ,
则有（ ）.
A. 交换A 的第1列与第2列得B B. 交换A 的第1行与第2行得B C. 交换A 的第1列与第2列得- B D. 交换A 的第1行与第2行得- B 【答案】C
【解析】解法1:题设又
所以有
*
*
*
*
*
*
*
*
与分别为A , B 的伴随矩阵，
所以有
即题设
因此
即
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,
记
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】由已知，有
于是
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右乘初等阵
所以
得
解法2
则（ ）.
二、分析计算题
6． 设A , B , C , D 是数域K 上每两个都可换的n 阶方阵且
的解空间V 是【答案】由于子空间.
再证 且
所以
因此, 又若因此,
7． 设V 是数域P 上n 维线性空间. 证明:由V 的全体线性变换组成的线性空间是
【答案】任一元于是从而
是维的
是V 上全体线性变换所成的空间. ，任一线性变换与它在该基下的矩阵相对应，
到
上的一个映射，它是双射，又保持各自的加法和数量乘法， 到线性空间
上的同构. 由于是同构，它们的维数相同，即L （V ）
. 故
是线性无关的. 因此它们是
这组元素是
，即有
的一组基，
维的. 的生成元，
，
即
则由（1）知,
从而
任取
则
但因为.
, 故
（1）
故由
的解空间
的直和.
（是n 元列向量）可
即
都是V 的
证明:n
元齐次线性方程组
设V 是P 上n 维线性空间，给定V 上一组基这就建立了因而是线性空间也是
维的.
8． 设V , W 是数域F 上有限维向量空间.f :象, 即
证明:【答案】设
那么
并取它的一组基
是一个线性映射, 令和分别表示, 的核和
再扩大为V 的一组基.
其中
下证则从而
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线性无关, 令