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一、选择题

1． 设

其中A 可逆，则=（ ）.

A.

B.

C.

D. 【答案】C 【解析】因为

2． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似

【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.

3． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若

由

，用

使

则（ ）.

所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B

1

所以

则A 与B （ ）.

右乘两边，可得

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这与矛盾，从而否定B , D.

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当故选C. 4． 设

时，由左乘可得矛盾，从而否定A ，

与为空间的两组基, 且

①

又

则（

）. A. B. C. D.B = A 【答案】C

【解析】令

由②有

将①代入④得

即故

.

5．

设

则3条直线

（其中）交于一点的充要条件是（ ）

A. 线性相关 B. 线性无关

C. 秩

D.

线性相关，

线性无关

【答案】D

【解析】令则方程组①可改写为

其中

则3条直线交于一点

方程组①有惟一解

方程组②有惟一解

秩

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②

③

④

①

②

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由秩从而可由

. ，可知线性无关，由秩可知1线性相关，即可由线性表出，

线性表出. 线性相关，故选D.

二、分析计算题

6． 设A 为实数域R 上的一个n 阶方阵, 满足

（1）设

为A 的一个特征值, 证明:也是

,

的特征值.

两边取转置行列式, 得

时成立.

将其单位化,

仍记为口是正交矩阵, 且

即也

（2）证明:如果A 的所有特征值都是实数, 则A 是一个对称矩阵. 【答案】（1）由是A 的特征值, 则是

的特征值.

（2）对矩阵的阶数用归纳法对于n 阶矩阵A , 设在n

维欧几里得空间

中, 将

扩充为标准正交基

则

时, 结论是显然的. 设结论对

是A 特征值, 由

是实数, 存在实特征向量

（1）

由于是

得

比较等式

的（1, 1）元, 知

则

进而

注意到B 是

阶实矩阵, 特征值全为实

数, 由归纳假设, B 为对称矩阵, 由式（1）知A 是对称矩阵. 故n 时结论成立. 由归纳原理, 结论成立。

7． 讨论取何值时，线性方程组

无解，有唯一解或有无穷多解，并求无穷多解时的通解. 【答案】

（1）当

时，

故方程组有唯一解.

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