2018年闽南师范大学物理与电子信息工程系615分析与代数之高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A.
B.
C.
D. 【答案】B 【解析】
秩
或
但当a=1时，
2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似
【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.
3． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
A. B. C. D.
有无穷多解 必有惟一解
必有非零解
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阶矩阵若矩阵A 的秩为则a 必为（ ）
故
秩
则A 与B （ ）.
所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B
秩A , 则线性方程组（ ）.
【答案】D 【解析】
阶方阵，且秩
秩
4． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使.
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
5． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若当故选C.
时，
由
，用
使
则（ ）.
其中
则PAQ=B
D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B
右乘两边，可得
由
左乘
这与可得
矛盾，从而否定B , D. 矛盾，从而否定A ，
二、分析计算题
6．
设
证明对任
【答案】设f 经正交变换对于任意的
有
类似可得
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是一个实二次型
，有.
，
化为标准形
是A 的特征多项式的根，
且1 .
7． 求以下
①②
能整除的条件：
【答案】①用令②因次
. 得. 次
去除，
可得商和余式分别为：
，即
故商必为2次且首系数为1, 令
展开后比较两端同次项系数可得：
由此解得：件.
8． 设A 是n 阶矩阵，a 是一个n 维列向量. 证明:如果
，则有
或
-这就是g （x ）整除f （x ）的条
【答案】由题设知
所以
从而
9． 设数域P 上4维线性空间V 中线性变换T 在基
证明:【答案】因为
是T 的不变子空间.
所以
下的矩阵为
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