2017年青海师范大学高等代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、分析计算题
1．
设证明：行列式
并举例说明条件“次数【答案】令
是不可缺少的.
是关于次数小于或等于
的多项式，
为任意数，
下证多项式矛盾，
不然，则但是即有个根，
故F （x ） =0，当然有
反例：n=2时，
则
2． 已知
二次型，
的秩为2.
将f 化为标准形.
（1）求实数的值；（2）求正交变換【答案】（1）因为
对A 施以初等行变换
所以，当a=-l时，
（2）由于a=-l，所以
于是，当
的特征值为时，由方程组
可得属于2的一个单位特征向量
可得属于6的一个单位特征向量
可得属于0的单位特征向量
当
时，由方程组
当
时，由方程鉅
令则f 在正交变换下标准形为
3． 记
为实数域R 上n 维标准欧几里得空间，A 为实数域R 上的一个II 阶方阵，
证明：
因为
即贝U
于是
由
故
则
由
【答案】所以设故
综上所述得
4． 设A ，B 分别为m ×n 与m ×s 矩阵，X 为n ×s 未知矩阵. 证明：矩阵方程AX=B有解（A ，B ）. 且当r （A ）=r（A ，B ）=r=n时，AX=B有唯一解；当r 【答案】设 的列向量组. 若AX=B有解 则得 即B 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，从 而 因此，r （A ）=r（A ，B ）. 反之，若r （A ）=r（A ，B ）=r，则B 的列向量组必是A 的列向量组的线性组合，且以组合系数为列向量所构成的n ×s 矩阵便是AX=B的解. 当r=n时由于每个__，r 的解唯一，从而AX=B的解也唯一；当 有无穷多解，故AX=B也有无穷多解. 即分别为矩阵A 与B 但显 然 5． 设A 是n 阶方阵，且 【答案】解法1因为 是n 阶单位矩阵，，是A 的转置矩阵） 所以 又因为解法2因为 所以 由于所以 6． 设 试证 是线性空间V 的一组基， 是它的对偶基， 表出）. 是V 的一组基并求它的对偶基（用 【答案】可利用定理3. 计算 由于右端的矩阵的行列式. 则 I 故 是V 的一组基. 设 是 的对偶基， 即 7． 在 中定义线性变换 求 在基 下的矩阵.
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