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一、分析计算题

1． 设2n 阶方阵

其中E 是n 阶单位矩阵. （1）求A 的特征多项式； （2）求A 的最小多项式； （3）求A 的若当标准形. 【答案】⑴

（2）由（1）知A 的最小多项式至少是2次多项式，又因为项式

（3）由于又

所以

从而A 的若当标准形为：

存在n 阶子式1，所以有其n 阶行列式因子

从而有

所以，A 的最小多

2． 设A 是实对称矩阵. 证明：

（1）存在正实数（2）存在正实数

使得

是正定矩阵.

使得对于任意的n 维列向量，都有

【答案】（1）设

则的k 阶顺序主子式

注意

到由维列向量

是实多项式函数

，

则

正定，则

时，

正定，于是

则存

在

故正定，取

使得

于是

正定.

当时

，

正定.

取

（2）因为A , —A 实对称，由（1）知存在充分大的

注意到可以为0, 都有

3． 已知线性空间

的线性变换

（1）求W 的一个基；

（2）证明：W 是的不变子空间；

正定，对于任意的n

即

其中与线性子空间

（3）将看成W 上的线性变换，求W 的一个基，使在该基下的矩阵为对角矩阵. 【答案】（1）易知W 的一个基为

（2）任取

由于

所以W 是的不变子空间. （3）经计算知

所以，对于在W 上的限制变换，

有

矩阵A 的特征值为属于

故由基变换公式

（二重），属于

可得

于是，在基

下的矩阵为对角矩阵A.

的线性无关的特征向量为令

则

是对角矩阵，

的线性无关的特征向量为

4． 把向量表成向量

（1）

（

【答案】（1）设

的线性组合：

2

）

按各分量写出等式，得方程组

对它求解，得

故

（2）设

按各分量写出等式，得方程组

对它求解得

5． 在6级行列式中，

【答案】 6． 设

（1）计算

为正定矩阵，其中A ，B 分别为m 阶对称阵和n 阶对称阵，C 为其中

是否为正定矩阵，并证明你的结论. 有

（2）矩阵

是正定矩阵. 由（1）的结果可知，矩阵D 合同于矩阵

又因为D 为正定矩阵，所以矩阵M 为正定矩阵. 再由矩阵M 为对称矩阵，知对称矩阵.

故

这两项应带有什么符号？

带正号；带正号.

矩阵.

（2）利用（1）的结果判断矩阵【答案】（1）由

也是