2017年青海民族大学数学院数学(一级学科)复试之高等代数复试实战预测五套卷
● 摘要
目录
2017年青海民族大学数学院数学（一级学科）复试之高等代数复试实战预测五套卷（一） . .... 2 2017年青海民族大学数学院数学（一级学科）复试之高等代数复试实战预测五套卷（二） . .... 6 2017年青海民族大学数学院数学（一级学科）复试之高等代数复试实战预测五套卷（三） . .. 10 2017年青海民族大学数学院数学（一级学科）复试之高等代数复试实战预测五套卷（四） . .. 16 2017年青海民族大学数学院数学（一级学科）复试之高等代数复试实战预测五套卷（五） . .. 20
第 1 页，共 24 页
一、分析计算题
1． 设A ，B 都是n 阶实矩阵，且A 与
（1）
【答案】（1）设所以
（2）设因为A 和
2． 设A 是
2,
n 故
其中
则
都是正定矩阵，所以矩阵，证明：存在一个
且. 非零矩阵B 使
故
即
即
其中E 是n 阶单位矩阵
是E+A的特征值，因为A 是正定矩阵，
是A 的特征值，则
（2）如果是B 的特征值，那么
都是正定矩阵，证明：
的充分必要条件是故齐次方程组
【答案】必要性.
令
因B 为非零矩阵，至少一个
系数行列式
充分性.
齐次方程组
是B 的第i 列，
则
有非零解. 设
有非零解，其
是它的一个解.
令
则满足
证明：
3． 设A 、B 是n 阶正交阵，且
【答案】A 、B 为正交阵，艮P 所以
故
第 2 页，共 24 页
又因为
所以
4． 设V 是数域K 上的n 维线性空间，
（1）存在
使得
使）
知
（2）存在V 中的一组基（则令
2
）
由
（
1
是V 的S 个真子空间，证明：
故
的真子空间，
使
线
性
无故
关
，
且
【答案】（1）由有限不覆盖定理，
是基，结论得证. 不然，
若
则
线性无关.
是V 的基，结论得证，不然重复
上面的步骤，并如此进行下去，得到基
5． 设
是任意复数，求循环行列式
的值.
【答案】设
其中于是
是全部n 次单位根，又令
第 3 页，共 24 页
由范德蒙行列式
故
6． 证明：有限维线性空间V 的任何真子空间均可表为若干个n —1维子空间的交，这里
【答案】设W 为V 的真子空间. 如如
结论显然（因为令
）.
显然，令
则
由代回式同理：
7． 证明：可逆变换是双射.
【答案】设为可逆变换，即有逆变换证明=
证明
8． 设
试证
是单射.
对
，故
：是满射. 对
即若有
是单射.
故
是满射
.
找使
用使
同乘此式两边，则左
=
右
，线性无关知
得
所以
为W 的基，扩成V 的基
令
既是单射，又是满射，因而是双射.
是线性空间V 的一组基，
是它的对偶基，
表出）.
是V 的一组基并求它的对偶基（用
第 4 页，共 24 页
相关内容
相关标签