2017年青海师范大学高等代数考研复试核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
【答案】
且
是
中第i 行j 列元素
的代数余子式
.
2． 证明：一个非零复数I 是某一有理系数非零多项式的根必要而且只要存在一个有理系数多项式
设所以只要令
设I 是某一有理系数非零多项式（1）若则于是只要4（2）若
则
由于
由①有
只要令
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使得
其中^是有理数
则的根.
就有
其中艮P
且
. 再证必要性.
【答案】先证充分性.
从而也有
则由②即有
3． 设
①若②若
为n 阶实方阵. 证明：
则A 的列向量组
线性相关（请留意，这里用到了后
使
【答案】①反证法. 设若
面才讲到的一些概念和结论），故存在不全为0的实数
即有
不妨设则由上第一个等式得
从而②令
与假设矛盾. 故
则是x 的实系数多项式，从而当时由假设得
且由①知，对[0, 1]中任何实数x 都有设若
[0, 1]中有x 。使
4． 已知矩阵
即
但显然以矛盾.
因此必
特别地，
于是由连续函数性质知，在
试求X ，使得【答案】由
则
对分块矩阵
拖行行初等变换
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故
5． 求矩阵X. 设
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
得
（2）
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