2017年江西科技师范大学高等代数(同等学力加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A 是数域K 上的一个
（1）证明：W 关于（2）设线性方程组
矩阵，曰是一个m 维非零列向量。令
的运算构成的一个子空间；
的增广矩阵的秩为r 。证明W 的维数
（3）对于非齐次线性方程组
求W 的一个基。 【答案】（1）显然因为存在
使
又
所以
即
此说明W 是
的子空间。
由题设，其解空间V 的维数
为
（2）对线性方程
组
任取所以存在
所以
存在
使
是线性方程组使
则
且
可见W 与V 同构，从而有
（3）由（2） W 与如下齐次线性方程组解空间同构。
该方程组的一个基础解系为：
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的解。
显然，这是W 形到V 的一个双射。又
这样，存在W 到V 的映射，
其在之下原像
即为W 的一组基。
2． 设
为A 的复系数多项式，n 阶复矩阵A 的特征根都不是
的零点. 试回答，
f （A ）为满秩矩阵，且f （A ）的逆矩阵可表为A 的多项式. 【答案】设
且A 的n 个特征值为所以f （A ）可逆. 又因为
其中
由凯莱定理，知
即f （A ）的逆矩阵可表为A 的多项式g （A ）.
3． 求
其中
【答案】设.
为A 的特征多项式，
则
令
由①式得
再令
. 由①得
再由①有
在③式中令
得b=0.于是
在④式中，令
得
将
代入②得
再由①式得
则f （A ）的n 个特征值为
由假设可知
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4． 设K 是一个数域，x 是一个不定元，给定正整数n ，令
关于多项式加法和K 中数的乘法组成K 上的一个线性空间，在此线性空间中定义变换
这里
为多项式
的微商
（1）证明：D 是一个线性变换； （2）令E 为（3）在【答案】 （1）
∴是（2）在
到
的一个线性变换. 中取一组基为
可得
其中设
又因为恒等变换E 在这组基下矩阵为n+1阶单位阵在这组基下矩阵为B , 则
此即为
的全部特征值.
下的矩阵成为Jordan 标准形.
（3）由②式知A 是若当块，故D 在基
5． 证明：直和可以“代入”和“加括号”，即
①若②若
【答案】 ①由显然则但是因此，
显然. 又若
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的恒等变换，求E+D的全部特征值；
内找一组基，使D 在此组基下矩阵成为Jordan 标准形
有
且
则
则
得
又若
于是由（11）得
故