2017年青海民族大学数学院数学(一级学科)复试之高等代数复试仿真模拟三套题
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2017年青海民族大学数学院数学（一级学科）复试之高等代数复试仿真模拟三套题（一） . .... 2 2017年青海民族大学数学院数学（一级学科）复试之高等代数复试仿真模拟三套题（二） . .... 8 2017年青海民族大学数学院数学（一级学科）复试之高等代数复试仿真模拟三套题（三） . .. 13
一、分析计算题
1． 求下面行列式的所有根：
【答案】由加边法，在原行列式上加一行，加一列，则，（x ）变为
再按最后一个行列式的第一列展开得：
2． （1）设
问：（i ）x 为何值时，A 为可逆矩阵； （ii ）x 为何值时，A 为正交矩阵； （2）
是n 阶可逆矩阵，A*是A 的伴随矩阵，即
其
中
表示A 的元
素
0时，
所以
的代数余子
式
即A 为可逆矩阵.
时，A 为正交阵.
的证明，详见第227
即A*是可逆矩阵. 关于
时，A 为正交矩阵. 即当
试证明：A*是可逆矩阵，并
且
【答案】（1）（1）当（ii ）当（2）已知
（5）题.
3． 计算n 阶行列式
【答案】
4． 设A 是mxn 实矩阵，用U 表示A 的列空间，用W 表示
【答案】设
由
知因而
已知A 的秩A=2.
可以由
，线性表示，，故
又
5． 设A 为三阶实对称矩阵，且满足
（1）求A 的全部特征值；
（2）当k 为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵.
的列空间，证明：记
，则
则
【答案】（1）设为A 的一个特征值，对应的特征向量为。，则
于是
因为实对称矩阵A 必可对角化，且秩A=2，所以
故矩阵A 的全部特征值为
（2）解法1 矩阵A+kE仍为实对称矩阵. 由（1）知，A+kE的全部特征值为
于是当k>2时，矩阵A+kE的全部特征值大于零. 故矩阵A+kE为正定矩阵. 解法2 实对称矩阵必可对角化，故存在可逆矩阵P ，使得
于是
所以
而
又因为A+kE正定，所以其顺序主子式均大于0，即
因此，当k>2时，矩阵A+kE为正定矩阵.
6． 设
是4维线性空间V 的一组基，已知线性变换T 在这组基下的矩阵为
（1）求T 在
（2）求T 的核与值域； （3）若线性变换【答案】（1）设中
有
到
问是否为可逆变换？为什么？
的过渡矩阵Z , 由已知条件得
其
下的矩阵B ;