2017年浙江师范大学教师教育学院904数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 求椭圆
上纵坐标最大和最小的点。
, 故
, 从而得到椭圆上的点（l , 2）,
【答案】在椭圆方程两端分别对x 求导, 得令y’=0, 得y=2x。将y=2x代人椭圆方程后得
（-l , -2）。根据题意即知点（l , 2）, （-1, -2）为椭圆上纵坐标最大和最小的点。
2． 设有一截锥体，其高为h ，上下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a 、2b 和2A 、2B ，求这截锥体的体积。
【答案】用与下底相距z 且平行于底面的平面去截该立体得到一个椭圆，记其半轴长分别为u 、v ，
则
，
3． 计算
，其中
是由平面z=0，z=y，y=1以及抛物柱面
【答案】解法一:容易看出，区域
由
和
的顶为平面
，底为平面
，
在
面上的投影所围成的闭区域.
，该椭圆面积为
，因此体积为
所围成。故可用不等式表示为
因此
解法二：由于积分区域属于
，且被积函数）
关于
面对称（即若点
，则
，因此
）
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也
关于是积函数（即
4． 一飞机沿抛物线路径机的速度为的反力。
【答案】
（y 轴铅直向上, 单位为m ）作俯冲飞行。在坐标原点O 处飞
, 飞行员体重G=70 kg。求飞机俯冲至最低点即原点O 处时座椅对飞行员
抛物线在坐标原点的曲率半径为
所以向心力为
座椅对飞行员的反力F 等于飞行员的离心力及飞行员本身的重量对座椅的压力之和, 因此,
5． 已知平面区域
【答案】
, 则
，计算二重积分
因为区间[
]关于原点对称，上式中关于的被积函数为偶函数，所以
因为
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所以
6． 设
存在，求下列函数的二阶导数
。
【答案】
7． 在摆线
，
上求分摆线第一拱成1:3的点的坐标。
【答案】对应于摆线第一拱的参数t 的范围为[0, 2π]，参数t 在范围[0，t 0]时摆线的长度为
当t 0=2π时，长度为8a ，故所求点对应的参数t 0满足到点的坐标为
8． 设
【答案】
9． 设面密度为常
量质量的质点的引力F 。
【答案】如图所示，引力元素dF 沿x 轴和z 轴的分量分别为
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，解得，从而得
。
，试按定义求
。
的质量均匀的半圆环形薄片占有闭区
域
，求它对位于z 轴上点
处单位