2017年浙江师范大学教师教育学院904数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x+y=2，y=x和x 轴所围成，它的面密
度
，求该薄片的质量.
【答案】D 如图1所示. 所求薄片的质量
图1
2． 设有一无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为0.1cm ，内高为20cm ，内半径为4cm. 求容器外壳体积的近似值.
【答案】圆柱体的体积公式为V 的增量△v ，因为
当R=4，H=20，△R=△H=0.1时
即溶器外壳的体积大约是
55.3
.
，由题意，圆柱形容器的外壳体积就是圆柱体体积
3． 求曲线
上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
，构造拉格朗日函数
【答案】设M （x , y ）为曲线上一点，距离计算得
当x ＞0, y ＞0时，由式（9-3）、（9-4）得
得y=x或3xy=－（x+y）（由于x ＞0, y ＞0，舍去）. ，化简得
将y=x代入（9-5）
，即
计算得x=y=1，即（1, 1）为唯一可能的极值点. 当
时，（1, 1）到远点的距离为
，再考虑边界点，即（0, 1），，（1, 0）
. 它们到远点的距离都是1，故最小值为1，最大值为
4． 如图所示电缆的长为S ，跨度为21，电缆的最低点0与杆顶连线AB 的距离为f ，则电缆长可按下面公式计算。
图
当f 变化了△f 时，电缆长的变化约为多少? 【答案】
5． 一物体按规律x=ct3作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x=0移到x=a时，克服介质阻力所作的功。
【答案】速度为
，阻力为
，由此得到
。
设当t=T时，x=a，得，故。
6． 选用适当的坐标计算下列三重积分：
（1）
，其中
为柱面
及平面
所围成的在
第一卦限内的闭区域；
（2）区域；
（3）区域；
（4）确定。
【答案】（1）利用柱面坐标计算，
可表示为
于是
（2）在球面坐标系中，球面示为
（图1）
于是
的方程为
，即
可表
，其中闭区域
由不等式
所
，
其中
是由曲面
及平面
所围成的闭
，其中
是由曲面
及平面
所围成的闭
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