2017年郑州大学数学与统计学院915高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 求半径为a 、中心角为
的均匀圆弧（线密度
）的质心。
【答案】取坐标系如图所示，则由对称性知又
，故
（也可由圆弧的弧长公式直接得出）
所求圆弧的质心的位置为。
图
2． 设
【答案】
，而
3． 求由抛物线
与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。
，求
，设过焦点的直线为y=k（x-a ），则该直线与抛物线的交点的【答案】抛物线的焦点为（a , 0）纵坐标为
，
，面积为
故面积是志的单调减少函数，因此其最小值在
4． 求下列微分方程组满足所给初始条件的特解：
，即弦为x=a时取到，最小值为
。
【答案】（1）记
则有
原方程组即为
即
由③的特征方
程
得
故
故方程组的解为
（2）记
解
得又由①
得
于
是
代入初始条
件
代入初始条
件
得
原方程组即为
则有即
由③的特征方程
得
即
代入初始条件
（3）记
解得
又由②得
得
故方程组的特解为
于是
代入初始条件
方程组即为
则有
即
由③的特征方程代入初始条件
解得
（4）记
方程组即为 故方程组的特解为
解得
就有
于是
又由①得