2017年郑州大学数学与统计学院915高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 已知动点M （x ，y ，z ）到xOy 平面的距离与点M 到点（1，﹣1，2）的距离相等，求点M 的轨迹的方程.
【答案】根据题意知
即
2． 求曲线
为点M 的轨迹的方程.
在与x 轴交点处的曲率圆方程。
得曲线与x 轴的交点为（l , 0）。
则
曲率半径
因此所求的曲率圆方程为
3． 设平面区域D 由直线x=3y，y=3x与x+y=8围成，计算
【答案】由分，如图所示，则
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【答案】解方程组
, 故
设曲线在点（l , 0）处的曲率中心为
和
两部
得，由得，直线x=2将区域D 分为
图
4． 利用定积分定义计算由抛物线积。
【答案】由于函数等份,
则分点为的右端点
, 则
当
时, 上式极限为
即为所求图形的面积。
5． 当k 为何值时，反常积分时，这反常积分取得最小值？
【答案】
因此当k ≤1时，反常积分发散，当k>1时，该反常积分收敛，此时
记
，则
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, 两直线x=a, x=b（b>a）及x 轴所围成的图形的面
在区间[a, b]上连续, 因此可积, 为计算方便, 不妨把[a, b]分成n
,
每个小区间长度为
,
取
为小区间
收敛？当k 为何值时，这反常积分发散？又当k 为何值
令
，故
小值。
6． 求函数
【答案】
，
得，
当时
，，
当时
，
为函数f （k ）的最小值点，即当时所给反常积分取得最
在点的泰勒公式。
函数为2次多项式，三阶及三阶以上的各偏导数均为零。又
将以上各项代入泰勒公式，便得
7． 求螺旋线
【答案】
点（a ，0, 0）所对应的参数于是切线方程为
即
法平面方程为
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在点
处的切线及法平面方程。
，故曲线在给定点的切向量
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