2018年青岛科技大学数理学院640数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设
并求J （2m , 2n ）. 【答案】
移项解得
. 同理
移项解得
由上述结论可得
而
故
（m , n 为正整数）, 证明:
9
2． 利用单调有界原理证明下列结论:
（1）设（2）设（3）
设且相等.
【答案】（1）因为
, 所以{Xn }单调递增. 由不等式
9
即{Xn }有上界, 从而数列{Xn }收敛. （2）因为
所以又因为
, 即{Xn }单调递减.
, 所以
即{Xn }有下界. 从而数列{Xn }收敛. （3）由已知所以当
时有
又
所以{Xn }单调递减, {以单调递增, 从而当
时, 有
即{Xn }有下界, {Yn }有上界, 从而它们的极限都存在. 设其极限分别为x 和y ,
则对 3． 设
收敛. 证明:
收敛（a n >0）.
, 由积分判别法知级数收敛, 由比较判别法知
收敛, 收敛.
两边取极限得x=y.
因为
得
, 则数列{Xn }收敛; , 则数列{Xn }收敛;
, 则
与
都存在
【答案】因为又
收敛, 所以
4． 设函数f （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导, 且满足
证明:至少存在一点【答案】令中值定
理知,
, 使得
因此, 由罗尔定理可知, 故有
, 使得
由于
, 使
.
, 则F （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导. 由题设, 利用积分
二、解答题
5． 求出椭球
在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体积.
切平面在坐标轴上的截距分别为:
则椭球面在第一卦限部分上任一点处的切平面与三个坐标面围成的四面体体积为
故本题是求函数
在条件设令
下的最小值.
【答案】由几何学知, 最小体积存在. 椭球面上任一点（x , y , z ）处的切平面方程为
解得
故