2018年青海民族大学数学院821数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 证明定理g （x ）满足:
（i ）
（ii ）f （x ）, g （x ）在（iii ）
. 的某邻域
或
内可导. 且）, 则
【答案】作变换
, 则
时.
, 于是
由于
,
在
内满足定理的条件, 所以
故
2． 证明:若f 在[0, 1]上连续, f （0）=f（1）, 则对任何自然数n
,
【答案】令
显然F （x ）在上述小区间上连续, 且
若分点若不然, 则由
, 情形时的洛必达法则. 要证的命题是:若函数f （x ）和
；
（A 可为实数, 也可为
使得
将[0, 1]区间n 等分:.
中有一个使F （x ）=0, 则命题得证.
, 可知, 上述被加项中
必有两项异号, 在它们所构成的区间上应用连续函数根的存在定理即知结论成立.
3． 证明:（1）两个奇函数之和为奇函数, 其积为偶函数;
（2）两个偶函数之和与积都为偶函数; （3）奇函数与偶函数之积为奇函数. 【答案】（1）设令
与
是D 上的两个奇函数,
则
所以（2）设则
k （-x ）=f（-x ）g （-x ）= f（x ）g （x ）=k（x ）
所以（3）设所以
和
为D 上的奇函数, 为奇函数.
都为偶函数.
为D 上的偶函数,
则
与
是D 上的奇函数, 是D 上的两个偶函数,
是D 上的偶函数.
二、解答题
4． 将函数展开为正弦级数
.
所以由收敛定理, 在
上
当x=0或时, 上式右端收敛到
在
上展开成正弦级数.
【答案】对f （x ）作周期性奇延拓, 得一以为周期的函数, 因f （x ）按段连续, 故可将f （x ）
5． 设质点受力作用, 力的反方向指向原点, 大小与质点离原点的距离成正比, 若质点由（a , 0）沿椭圆移动到（0, 6）, 求力所作的功.
【答案】椭圆的参数方程为:
由于力的反方向指向原点, 则:（设k 为比例系数）
则
6． 设
, 求
.
【答案】用泰勒公式,
两边积分可得
由此可得f （X ）的泰勒展开式
于是, 有
若令综上, 有
,
其中为自然数.
7． 求
【答案】由上的最值问题.
令当当
或或
即即
, 则
或时, z=f （x , y ）取最大值或
时, z 取最小值
.
;
在区域D
上的最大值和最小值.
=0.再考虑边界, 且f （0, 0）得稳定点为（0, 0）
, 则上式可改写为