2018年南开大学数学科学学院718数学分析高等代数之高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 设:
二阶可导, 且有稳定点; f :
且
（1）试求f 的所有稳定点;
（2）证明f 的所有稳定点都是退化的. 即在这些稳定点处, 【答案】（1）因为
r
令
.
（2）设所以
即
为退化矩阵（n=1时结论不一定成立）.
2． 求下列函数在指定点的导数:
（1）设（2） 设（3）设【答案】（1）
（2）
[.
（3）当故
时,
:, 求
, 求
, 求, ,
, ；
,
；
, x 0是, 的一个稳定点, 因为
*
,
则
设的稳定点的全体为D , 所以f 的所有稳定点的全体
为是退化矩阵（即在稳定点处
）.
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x=0为f （x ）的定义域的端点,
所以在x=0
处只能讨论单侧导数.
所以
3． 讨论黎曼函数型.
【答案】（1
）先证
在
上无理点都连续. 设无理数
若x 为0, 1或无理数, 总有
若取
在则当
的, 记为
在区间[0, 1]上的不连续点的类
不存在.
中既约分数的分母不大于n 的仅有有限个, 选其中最接近于
时, 有
（2）再证取无理数列再取有理数列由
上的有理点均为使使
所以的右连续点.
则
的第二类间断点. 设有理数
为
不存在. 即证的第二类间断点.
（3）类似可证1不是（4）可证0是
4． 计算下列各题:
（1）（2）
的左连续点.
（3）【答案】
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（1
）
（
2）
（3）
5． 求下列函数所确定的反函数组的偏导数:
（1）（2）
【答案】（1）因
求求
所以由反函数组定理, 得
（2）关于x 求偏导数得
解之得