2017年西安交通大学数学与统计学院818高等代数与线性代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1．
设
，其
中，其中
何意义说明柱体位于
与
之间的关系。
、顶为曲面:的曲顶柱体
。由此可知
的曲顶
的体积（图）. 由于
分成四个
表示底为
、顶为曲面:
；
又
。试利用二重积分的几
【答案】解法一:由二重积分的几何意义知，表示底为的体积; 上方的曲面:
关于yoz 面和zox 面均对称，故yoz 面和zox 面将
等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为
图
解法二:
设
关于x 是偶函数，故
又由于
关于X 轴对称，被积函数
关于y 是偶函数，故
从而得
第 2 页，共 54 页
。由于关于y 轴对称，被积函
数
2． 求下列欧拉方程的通解：
说明令记则
【答案】（1）令特征方程
为
即原方程的通解为
（2）原方程可改写成令
记
则方程化为
即 ，则
有特征根
方程（2）对应的齐次方程的特征为故方程（2）对应的齐次方程的通解为因
是特征（二重）根。设
代入方程（2）中可得A=1，即
即原方程的通解为
（3）令其方程特征为即
有根
故方程（3）的通解为
第 3 页，共 54 页
或则
即
记则原方程化为
即
有特征
根
故方程（1）有通
解
故方程（2）的通解为
记则方程可化为
即原方程的通解为
（4）令
记
则方程可化为
方程（4）对应的齐次方程的特征方程为解为
因
，比较系数得程（4）
于是方程（4）的通解为即原方程的通解为（5）令
记
则方程化为
方程（5）对应的齐次方程的特征方程为
因
不是特征方程的根，故可令
中，得
（6）令
记
则原方程化为
方程（6）对应的齐次方程的特征方程为
因
不是特征方程的根，故可令
即
是方程（6）
于是方程（6）的通解为
的特解，代入方程（6）并比较系数，可得
即原方程的通解为
（7）令
记
则原方程可化为
第 4 页，共 54 页
即
有根
故齐次方程的通
是（4）的特解。代入方
即
有根
故齐次方程的通解为
不是特征方程的根，故可令
即
是方程（5）的特解，即即
故原方程的通解为
是
原方程的特解，代入原方程
即
有根
故齐次方程的通解为
即