2017年西安交通大学数学与统计学院818高等代数与线性代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 确定闭曲线C ，使曲线积分
达到最大值。
【答案】记D 为C 所围成的平面有界闭区域，C 为D 的正向边界曲线，则由格林公式
要使上式右端的二重积分达到最大值，D 应包含所有使被积函数包含使被积函数小于零的点。因此D 应为由椭圆
=1时，所给的曲线积分达到最大值。 逆时针方向的椭圆
2． 设闭区域D 是由直线x+y=1，x=0，y=0所围成，求证
【答案】
令
依次与
应的闭区域
的边界（图）. 于是
，
，
则
，在此变换下，D 的边
界
对应。. 后者构成
平面上与D 对大于零的点，而不
所围成的闭区域。这就是说，当C 为取
图
又
因此有
3． 设周期函数f （x ）的周期为2π，证明：
（1）若（2）若【答案】（1）
在上式第二个积分中令
则
同理得
及
当
时，
及
（2）与（1）做法类似，有
则f （x ）的傅里叶系数则f （x ）的傅里叶系数
于是有
当
4． 把对坐标的曲线积分
2
时，
化成对弧长的曲线积分，其中L 为:
故有
（1）在xOy 面内沿直线从点（0，0）到点（l ，l ）; （2）沿抛物线y=x，从点（0，o ）到点（1，l ）; （3）沿上半圆周
从点（0，0）到点（l ，l ）。
【答案】（l ）L 为从点（0，0）到（1，l ）的有向线段，其上任一点处的切向量的方向余弦满足
于是
（2）L 由如下的参数方程给出：
，其方向余弦为
于是
（3）L 由如下的参数方程给出：量的方向余弦为
，x 由小到大地从0变到1，故L 的切向x 由小到大地从0变到1，故L
的切向量为
于是
5． 求曲线y=ex 在点（0，1）处的切线方程。
【答案】
，即x-y+1=0。 故曲线在（0，1）处的切线方程为y-1=1·（x-0）