2017年西安交通大学数学与统计学院818高等代数与线性代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 求下列函数的n 阶导数：
【答案】（1）
（2）由
知
2． 求下列欧拉方程的通解：
【答案】（1）令
2
（D +2D+1）y=0
即并记则原方程可化为
于是该方程的通解
即
该方程的特征方程为
故原方程的通解为
（2）
令
即
并
记
有根
则原方程可化
为
有根
即
故齐次
该方程对应齐次方程的特征方程为
方程的通解为
因
不是特征方程的根，故可
令
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是非齐次方程的特解。代入
中并消去
于是得
即原方程的通解为
3． 求曲面
【答案】令在点即
得
即
在点处的切平面及法线方程。 ，则曲面在点
处的一个法向量
处的一个法向量为，故曲面在该点处的切平面方程
法线方程为
4． 已知函数向倒数。
【答案】根据方向导数与梯度的关系知，f （x , y ）沿着梯度方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模。
因
为
，此题目转化为对函
数下的最大值，即为条件极值问题.
为了计算简单，可以转化为
对
下的最大值。
构造函数：令
得到因此
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，曲线C ：，求f （x , y ）在曲线C 上的最大方
，
故，
模
在约束条件C
：在约束条件C
：
故f （x , y ）在曲线C 上的最大方向导致为
5． 画出下列各平面所围成的立体的图形，
⑴x=0，y=0，z=0，x=2，y=1，3x ＋4y ＋2z －12=0； ⑵x=0，z=0，x=1，y=2，
。
【答案】 ⑴如图1所示；⑵如图2所示
.
图1 图2
6． 设f （x , y ）在闭区域
上连续，且
求f （x , y ）。 【答案】设
，则
从而
又
的面积
故得
因此
在极坐标系中，有
因此
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