2017年南开大学统计研究院845高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
其中A 可逆，则A.
B.
C.
D. 【答案】C
=（ ）.
【解析】因为
2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
分别为A ，B 的伴随矩阵，
即
3． 设则3条直线
（其中
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出. 线性相关，故选D.
4． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而 5． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于
因此
线性无关，且都是
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则也不是线性变换，
比如给
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
的解.
故
是的基础解系. 又由知是的特解，因此选B.
二、分析计算题
6． 设A ，B 为n 阶方阵
，
①二次型②若由于的矩阵为②若
则A 与B 不一定相等. 例如，
但是
不过，当因为
与故
7． 问：3是否为
展开后，
与
中的系数
的根？是几重根？再在有理数域上分解f （x ）,
的系数分别为
对应相等，故
但因为
的矩阵为何？
则A 与B 是否相等？
虽为n 元二次型，但其矩阵不能肯定是A.
对称，故
问：
【答案】①因为未假设A 对称，故
均为对称方阵时二者必相等：
【答案】解法I 对f （x ）及其商用综合除法
.
由此可知，3是f （x ）的2重根且
解法II 求f （x ）的逐阶导数法
.
用综合除法可知：
8． 设
又
求
故3是f （x ）的2重根.
.
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