2017年南开大学统计研究院845高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）. A.E B.-E C.A D.-A 【答案】A 【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有 B （E-A ）=E. 又C （E-A ）=A，故 （B-C ）（E-A ）=E-A. 结合E-A 可逆，得B-C=E. 3． 设A 是矩阵，为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. A. 如果B. 如果秩 则则 . 有非零解 有非零解 有惟一解 只有零解 第 2 页，共 41 页 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则 【答案】D 【解析】秩未知量个数，有零解. 4． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设 可逆，由于 的伴随矩阵为（ ）. 则分块矩 且 所以 5． 设n （n ≥3）阶矩阵 ， 若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D. 故 但当a=l时， 【答案】B 【解析】 二、分析计算题 第 3 页，共 41 页 6． （替换定理）. 设向量组 且在得的向量组 【答案】我们对r 作归纳法，r=l时设为 与 线性无关，且可经向量组 在用 等价. 线性无关. 这时 可由 线性表出， 则替代它们后所 线性表出， 中存在r 个向量，不妨设就是 由至少一个不妨设为则 由此易知 现设且定理对 无关，且能由妨设 为 等价. 又 能 由 这时若所有为零， 不妨设 且 则 与等价. 为r 个无关的向量的情形. 这时 且存在 中的r-1个向量，不 与 线性表出， 设 线性无关矛盾. 故 的情形已成立. 我们来讨论线性表出. 由归纳假设 在 用替代后所得的向量 组 线性表出，就能 由 为的线性组合，与不全 由此易 知 等价. 这就完成了归纳法. 7． 设向量组证明：向量组 【答案】令 由于 线性表示，设为 将②代入①，再整理得 由假设及上一题知， 线性无关. 故 即证 第 4 页，共 41 页 与等价也就 与 线性无关，向量可由这向量组线性表示，而不能由这向量组线性表示， 必线性无关（其中1为常数）. 线性无关.
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