2017年南开大学统计研究院845高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知
所以
2． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
【答案】D 【解析】
3． 设A 是
矩阵，为一非齐次线性方程组，则必有（ A. 如果则. 有非零解
B. 如果秩
则
有非零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则有惟一解 D. 如果A 有n 阶子式不为零，则只有零解
【答案】D 【解析】秩
未知量个数，
有零解.
4． 设
为空间的两组基，且
又
则（ ）•
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.
）
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
由②有
即
5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
二、分析计算题
6． 证明埃尔米特矩阵的特征值是实数，并且它的属于不同特征值的特征向量相互正交.
【答案】设A 是一个埃尔米特矩阵，
是A 的一个特征值. 于是有非零向量
满足
令
其中（i=l, 2，…，n ）是的共辄复数.
故有于是
上式左边为
右边为
因为
的特征值，
因此
于是
因为A 是埃尔米特矩阵，所以
又有
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即是一个实数.
再设是A 的一个不等于是A 的一个属于的特征向量，
因为
所以
即
正交. 也就是说明埃尔米特矩阵的属于不同特征值的特征向量
相互正交.
7． 设P 是一个数域，意
证明:（1）对于（2
）对任意
理想，
且
是
的最大公因式. ，
取
则结论成立.
若这里
由
（2）于是
有
故I 是P[x]的理想. ，J 中存在由（1）g （x ）
的公因式. 由J 的定义知
8． 设T ，S 为线性空间V 的两个线性变换且
①②
【答案】①设故有因此，反之，设故
故
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是P 上的一元多项式环. 称
有
的非空子集I 为
的理想，如果对任
中任意理想I , 存在使得对于任意
是
的
【答案】（1
）若
作带余除法
然，
取I
中次数最低的首一多项式为
则
不
是余式.
只要证
这
与使得
的取法矛盾，
故
显然的组合，故
证明：
是
于是
，是f （x ）
的最大公因式.
则任取
但因为同理，有
则任取
得
故
得
使
，有同理（S 与T 地位相当）