2017年南通大学电气工程学院816高等代数(二)考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
3． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
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【答案】B 【解析】
4． 设是非齐次线性方程组的两个不同解，是的基础解系，为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于
因此
线性无关，且都是
的解.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
故是的基础解系. 又由知是的特解，因此选B.
5． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
二、分析计算题
6． 设二次型
（1）求二次型的矩阵的所有特征值； （2）若二次型的规范形为【答案】（1）二次型
的矩阵
求α的值.
由于
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所以A 的特征值为
（2）解法1由于
的规范形为故有当兰. 当
时，时
.-时，
所以A 的特征值有2个为正数，1个为零. 又
于是
所以A 合同于
此时的规范形为
此时的规范形为
此时的规范形为
不合题意.
不合题意.
其秩为2，
综上可知，
解法2由于的规范形为所以
7． 设T 是数域K 上n 维空间V 的一个线性变换，在某基下的矩阵为对角矩阵，又T 的全部互异的特征值. 证明：存在V 的线性变换
①②③④⑤其中
为特征值的特征子空间.
现在令①对V 中任意
易知是V 的线性变换.
由（6）可得
因此，
②由于对V 中任意有
故③当⑤显然
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为
使
【答案】由于T 可对角化，故V 为所有特征子空间的直和，即。于是对V 中任意向量总可唯一表为
有
故
又任取
则
故 所以
时，由于对任意
有
④对任意