2018年湖南师范大学数学与计算机科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量X 的密度函数如下，试求
.
【答案】因为
2． 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其密度函数为是相互独立的，试求（1）两周需求量的密度函数
【答案】记（1）（2）
3． 设总体X 服从正态分布令随机变量
【答案】将则
是
表示为个独立的变量
的线性组合, 而
,
服从伽玛分布
；
，所以
设各周的需求量
相互独立，
且密度函数都为
是来自总体X 的容量为试求
的概率密度.
,
的简单随机样本,
（2）三周需求量的密度函数
为第i 周的需求量，i=1, 2, 3. 根据题意知.
，所以由伽玛分布的可加性知 ，其密度函数为
, 其密度函数为
所以服从正态分布, 其数学期望和方差分别是
即
服从正态分布
, 其概率密度为
4． 设随机变量X 在区间（0, x ）上服从均匀分布, 求:
（1）条件概率密度（2）概率
.
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上服从均匀分布, 在；
的条件下, 随机变量Y 在区间
【答案】 （1） x 的概率密度与在的条件下Y 的条件概率密度分别为:
故当时, 随机变量x 和y 的联合概率密度为
在其他点当
处, 有
时, Y的概率密度为
即.
当
或
时,
. 因此
.
从而, 当（2）
时, 条件概率密度为
其中区域
.
,
5． 在单因子方差分析中，因子A 有三个水平，每个水平各做4次重复试验. 请完成下列方差分析表，并在显著性水平
下对因子A 是否显著作出检验.
表1方差分析表
【答案】补充的方差分析表如下所示:
表2方差分析表
对于给定的显著性水平由于
，查表知
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，故拒绝域为，
因而认为因子A 是显著的. 此处检验的p 值为
6． 设
是来自帕雷托
分布
的样本（
已知），试给出的充分统计量.
【答案】样本的联合密度函数为
令
取
或和
都是的充分统计量.
中抽取容量为n 1和n 2的两独立样本，
其样本方差分别为
都是
的无偏估计，并确定常数a , b 使
由因子分解定理，
7． 设分别自总体_Var （Z ）达到最小.
【答案】由已知条件有
试证，对于任意常数a , b （a+b=1）,
且
独立. 于是
是
故
这证明了又
的无偏估计.
从而
因而当
时，
达到最小，此时
这个结果表明，对来自方差相等（不论均值是否相等）的两个正态总体的容量为
和
的样
该无偏估计为
本，上述是的线性无偏估计类中方差最小的.
8． 先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ）, 则再抛一次硬币，试验停止，那么该试验的样本空间是什么？
【答案】
9． 设从两个方差相等的独立正态总体中分别抽取容量为15, 20的样本，其样本方差分别为试求
则
有
于是
【答案】不妨设正态总体的方差
为
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