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一、计算题

1． 试求图示两端固定梁的前三个自振频率和主振型。

图1

【答案】两端固定梁的边界条件为代入式，得到

所以

代入两式后，得到

因为

中系数不能全为0, 所以上式有解，即行列式为

整理可得，

通过试算，可得其前三个根其三阶频率

2． 试用零载法检验图1a 所示体系是否几何不变。

【答案】计算自由度

可采用零载法分析。

代入公式

可得

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图1

在零载状态下，

设支座A 竖反力轴力

为任意值），由平衡条件得

找出六根零杆，如图b 所示。逐次由结点B 、E 、

C 、D 的平衡条件求得

支座B 、E 水平反力及各杆轴力（斜杆以分量表示），最后由结点H 平衡条件得

当X 为任意值时均满足上式，可见，反力、内力除零解外，存在无穷多组非零解均满足平衡

条件，因此该体系几何可变。

3． 试分析图示空间体系的几何构造。

图1

【答案】（a

）可以把四面体基本体系相连，且且无多余约束。

看出一个刚片，通过

六链杆与

三链杆支于一点，并六链杆不交与同一直线上，则体系几何不变、

图2

（b ）计算自由度，6个结点、12根杆件、6根支杆，则有：

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结构组成（注意体系是空间结构），B 点被三杆固定在基础上，由杆再由杆

杆FD 和支杆固定D 点，这部分为无多余约束的几何不变体系。

和两支杆固定F 点，

刚体AEC 由六根链杆与几何不变部分相连，由杆AB 和DA 固定的A 点只能绕BD 轴作圆周运动。同理，E 点只能绕BF 轴作圆周运动，C 点只能绕FD 轴作圆周运动。

要使这三个运动瞬时成为可能，只有两种情况：

①三个圆的切线相互平行，即三个圆运动平动，刚体有同一方向运动的可能。显然，这种情况不可能；

②三个圆圈的三条切线有转动中心，这时刚体存在一个转轴，使得这三点都保持原有切线方向运动。显然，平面ACE 为点A 、点E 和点C 三点作圆周运动的切线所在的公共面。过这三点作切线的垂线，若这三条垂线交于一点，则过这点做平面ACE 的垂线，该垂线为刚体的瞬时转动轴。结构为瞬变体系，而三角形AEC 的三边就是这三条垂线，显然不交于一点，于是结构不可能成为瞬变体系。

图3

4． 求图a 所示结构的

图，右跨横梁

为刚性链杆。