2018年湖南师范大学数学与计算机科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 计算机在进行加法运算时对每个加数取整数（取最为接近于它的整数）. 设所有的取整误差是相互独立的，且它们都服从
上的均匀分布.
且
（1）若将1500个数相加，求误差总和的绝对值超过15的概率； （2）最多几个数加在一起可使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于【答案】
记（1）由
为第
i
个加数的取整误差，
则
得所求概率为
（2）由题意可列出概率不等式
利用林德伯格-莱维中心极限定理，可改写为
查表得
由此得
这表明:至多443个数相加，才能使它们的误差总和的绝对值小于10的概
率不小于
2． 某组装产品内有部分噪音很大的次品，很伤脑筋，产生次品的原因似乎是由于这种组装品的某个部位的间隙过大引起的，为检验这个认识是否正确，特从正品对其间隙进行了测量，测量数据如下（单位:pm ）
表
1
在正态分布假设下请对
与
中的间隙的均值间是否存在显著差异进行检验（取
. ）
和次品
中各抽出8个，
【答案】这是单因子（间隙）二水平等重复试验，其均值比较可用两种方法进行检验. 方法一，方差分析法，具体操作如下. （1）计算各个和:
（2）计算各个平方和:
（3）列出方差分析表:
表
2
（4）判断:若给定显著性水平
，由于
异.
方法二，双样本t 检验.
，可查得拒绝域为
故因子A 显著，即正品与次品的该部位的平均间隙有显著差
在正态总体方差相等的条件下两均值的比较还可用双样本的t 检验. 检验统计量为
其中
是两样本量，
是两样本均值，
如今由样本可算得
对给定显著性水平查表得
; 拒绝域为，由于
，
, 故应拒绝两均值相等得假设， 分布，
此结论与方差分析相同. 这里两种检验的结果相同的现象不是偶然的， 因为自由度为的t 变量的平方就是因此这两个方法是等价的. 其临界值亦有即.
.
未知. 在X 的10个观测值的平均值
的置信区间； 已知,
3． 设随机变量X 服从正态分布
（1）求
的置信水平为
（2）要想使
时.
的置信水平为0.95的置信区间的长度不超过1, 则n 至少取多大？
【答案】 （1）由于
所以正态总体数学期望由题设知故
的置信水平为的置信区间为
.
的置信水平为0.95的置信区间为
的置信水平为0.95的置信区间为
（2）当观测值个数为n 时,
于是要使这个区间的长度不超过1, 即123.
4． 若事件
必有即观测值个数n 最少为
，是否一定有？
【答案】不能，因为|发生有多种情况，如
（1）A ，B ，C 中两两不相容（见图1）;
（2）A ，B ，C 中有两个相容，但与第三个都不相容（见图2）; （3）A 与B 相容，A 与C 相容，但B 与C 不相容（见图3）; （4）A ，B ，C 中两两相容，但其交不含任一样本点（见图4）
.
图1 图2 图3 图4
5． 三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为概率.
【答案】记事件A 为“第i 个人译出密码”，
为“密码被译出”. 则
注:互不相容可简化事件并的概率计算，相互独立可简化事件交的概率计算. 这里为了要利用相互独立性，把事件并在对偶法则下转化为事件交，这一方法以下会经常用到.
6． 系统由n 个部件组成. 记为第i 个部件能持续工作的时间，如果
试在以下情况下求系统持续工作的平均时间:
（1）如果有一个部件停止工作，系统就不工作了； （2）如果至少有一个部件在工作，系统就工作. 【答案】因为
所以
的密度函数和分布函数分别为
，求此密码被译出的
独立同分布，
且