2018年湖南师范大学数学与计算机科学学院840概率论之概率论与数理统计教程考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 对冷却到
方法A :
方法B :
【答案】设两种方法测量的潜热分别记为X 和Y ，并设
，可用双样本t 检验，则检验的拒绝域为:
本题中，n=13，m=8，直接计算可得，
.
因此有
，
而
，因此应拒绝原假设，即两
种测量方法的平均性能有显著性差异，检验的p 值为0.0036.
2． 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2, 乙的命中率为0.5, 以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求P （X ≤Y ）
【答案】因为当
:时，有
所以（X ，Y ）的联合分布列为
表
. ）要检验
和
假设它们服从正态分布，方差相等，试检验:两种测量方法的平均性能是否相等？（取
的样品用A ，B 两种测量方法测量其溶化到
时的潜热，数据如下:
由此得
.
3． 设是来自的一个样本，对如下的检验问题
已给出拒绝域
（1）求此检验的势函数；
，其中为样本的最大次序统计量.
）. 如何确定c?
（2）若要求检验犯第一类错误概率不超过0.05（即（3）若在（2
）的要求下进一步要求检验在
），n 至少要取多少？
（4）如今n=20，
，对此检验问题作出判断.
【答案】 （1）此检验的势函数为
处犯第二类错误的概率不超过0.02
（即
可见，在（2）在
时，势函数
是的严增函数.
，故由题意知，应有
由于
是增函数，故
在
处达到最大值，故只要使
即可实现，由此解出（3）在备择假设
譬如，在n=5时，c=0.4949; n=10时，c=0.4974.
成立下，犯第一类错误的概率为
成立下，犯第二类错误的概率为
由题意知，要求在若把（2）中的
处有. 即
代入，可得
，
可见，若取n=10即可使处犯第二类错误的概率不超过0.02.
（4）如果样本量n=20, 则其拒绝域为
，故不应拒绝原假设
如今
4． 口袋中有5个球，编号为1，2, 3, 4, 5. 从中任取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码.
（1）试求X 的分布列；
（2）写出X 的分布函数，并作图. 【答案】（1）从5个球中任取3个，共有
种等可能取法.X 为取出的3个球中的最大
号码，则X 的可能取值为3, 4, 5. 因
为
，所以
所以X 的分布列为
表
（2）由分布函数的定义知
的图形如图
.
，且当时，有
图
5． 设随机向量
满足条件
其中
【答案】对等式由此解得
同理，对等式同理，对等式进一步
当
时，对等
式
的两边求方差可得
的两边求方差可得
的两边求期望
得
均为常数，求相关系数
的两边求方差得
所以有
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