2017年南京邮电大学理学院814高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
2． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
的伴随矩阵为（ ）.
【答案】B 【解析】
则分块矩
且
所以
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，
3． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
4． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
5． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
是矩阵，则则
的一个特解，所以选C.
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】
秩
未知量个数，
二、分析计算题
6． 若n 阶方阵A 与B 只是第j 列不同，试证
【答案】设
则
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于是
7． 设A 是非退化实矩阵，则它是一个正交阵和一个正定阵的乘积.
【答案】A 是非退化实矩阵，则
即
8． 设A
是
非零方阵，
则有正整数
故有
如果
秩由
中不能全
不为零，
否则每个秩而秩
与所设秩
就得
到秩
【答案】现设秩和
显然（1）的解是（2）的解. 又秩（1）的
基础解系也是（2）的基础解系，于是（1）与（2）同解. 再考虑齐次方程组
显然（2）的解是（3）的解. 对（3）的任一解即
是（2）的解，因此是（1）的解，于是
有
因而
是（2）的解，这证明了
完成了证明.
齐次方程组
（2）与（3）是同解的，它们的系数矩阵必有相同的秩，即秩
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是正定阵. 由前一题知有正定阵C 使得
于是
是正交阵. 因此A=BC是正交阵与正定阵的乘积.
秩
证明：
由于
即A 可逆，则
秩如果
秩
因
使秩
于是依次
取
考虑n 次方程组
的基础系中有相同数目的解，于是
矛盾. 于是有
下面证明对任何1若
秩