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一、分析计算题

1． 设

为由全体正实数对运算

作成的实数域R 上的线性空间，R 对普通加法与乘法作成R 上线性空间. 证明：【答案】证法I 任取一个定实数射.

又对任意又因为对任意

即b 是一正实数，令

和

有

因此，一维空间

.

中的零向量是1, 今在

中任取一非零向量a , 即a 是一个非1的正实数，则当

时有

. 即a 在R 上线性无关. 再任取

即

中每个向量都可由a 线性表示. 因此，

即b 为正实数，则

也是实数域上一维空间，即与R 都是实数域

也作成实数域上

证法II 实数集R （对普通加法与乘法）作成实数域上一维线性空间. 下证

则

故又是满射，从而为双射.

则易知

是R 到

的一个映射，且显然是一个单

上一维空间， 故

2． 设A 为n 阶复方阵. 证明：存在一个n 维向量的每一个特征根恰有一个线性无关的特征向量

【答案】取且由

由于

使n

维向量组

则P 是可逆矩阵，

使线性无关的充要条件是A

：线性无关，所以可令

可得

由此可得A 的不变因子为令

从而有A 的若当标准形

可见r

则

A

所以

的初等因子

为

所以A 的每个特征子空间的维数均为1, 即A 的每个特征根恰有一个线性无关的特征向量

.

如果A 的每个特征根恰有一个线性无关的特征向量，则对A

的任一特征根

从而A 的若当标准形

右

中不同若当块的对角线元素互不相同，因此A 的特征多项式与最小多项式相等. 设A 的最小多项式为

则A 与

有相同的不变因子，因而A 与B 相似.

令则即取

且

则有

且线性无关.

3． 证明

【答案】

令量

.

又设

及

它的每个列向量都可由列向量组分别是

都可由向量组

即

4． 证明：正交矩阵的实特征根为±1.

【答案】设A 是一个正交矩阵，于是

因为

5． 设

所以，

得出„

即

是A 的一个实特征根，是对应于

的一个特征向量

.

和

线性表出. 故

都是列向

线性表出.

的极大线性无关组.

则

其中当

证明：与A 可交换的矩阵只能是对角矩阵. 【答案】令

与A 可交换. 计算

由AB = BA, 则对任意

有