2017年南京信息工程大学海洋科学学院802高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到基
【答案】（A ）
2． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
的解，则（ ）。
则
所以
即证秩
3． 设n （n ≥3）阶矩阵
【答案】（C ） 【解析】设
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
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【答案】B 【解析】
4． 设
又
为空间的两组基，且
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即
5． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
并记A 各列依次为
由于AB=0可推得AB
的第一列
由②有
从而
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 二、分析计算题 6． 计算 【答案】（1）当时，用第1行的（-1）倍分别加到其它各行得 第 3 页，共 42 页 按第1行展开得 （2）当 时，将最后一列拆成两项和，所以 ： 由对称性，又有 再由 7． 证明：在实函数空间中， 【答案】三角恒等式，是线性相关的. 8． 设 （1）求A 的特征值与特征向量； （2）求 ，所以A 的特征值为 ，得特征向量 故A 属于特征值-2的全部特征向量为当 时，由 其中为数域P 为不为零的任意常数. 为数域P 中不全为零的任意常数. 得线性无关的特征向量 其中令 第 4 页，共 42 页 可解得 是线性相关的. 由此有 故 【答案】（1）计算可得当 时，由 故A 属于特征值1的全部特征向量为（2）
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