2018年同济大学数学系832数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 求下列函数的导数:
【答案】（1）（2）
（3）（4）（5）（6）（7）
（8）（9）（10）
（11）（12）
2． 设
【答案】令
即
第 2 页，共 29 页
, 求f （x ）.
. 则
3． 若f （x ）在[a, b]上连续, 且
则在（a , b ）内至少有一点使得【答案】不妨设
, 即
,
由极限的局部保号性知, 从而f （x ）k ;
当取
根据连续函数介值性定理, 对
4． 设f , g 在
上可积, a n , b n 和
时有, 则
, 当
. 时有
, 从而f （X ） 因为f （X ）在 , 使得 分别表示f 和g 的傅里叶系数, 则 【答案】写出f+g和f －g 的巴塞伐尔等式: 将上两式相减可得结论. 5． 试作一函数 使当 时, 上连续, . , （1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在； （4）重极限与一个累次极限存在, 另一个累次极限不存在. 【答案】（1）函数 满足 因为 故（2）函数同理 不存在， 满足 也不存在. 但是 （3）函数因为在 满足当 时，重极限和两个累次极限都不存在， 第 3 页，共 29 页 不存在. 时，sinx 的值在﹣1与1之间振荡，同理，siny 也是一样的. （4）函数 6． 设 （1）求证:【答案】（1）令 , ; 满足 . 不存在但是 （2）f （r ）是什么函数时, 则 同理 所以 （2） 要使 只要 所以 （c 为任意常数）时 二、证明题 7． 证明:任何有限数集都没有聚点. 【答案】用反证法. 设S 是一个有限数集. 假设是S 的一个聚点, 按照定义2, 在的任何邻域内都含有S 中无穷多个点, 这个条件是不可能满足的, 因为S 是一个有限集. 故任何有限集都没有聚点. 8． 证明:若 【答案】由于当 时 即且 . 则因此, 当 存在正整数N , 使得 时, 有 第 4 页，共 29 页 根据数列极限的保号性知, 对任意的
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