2018年西安工程大学理学院613数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 在
【答案】由即f （x
）在可得.f （X ）在
上连续, 且
, 证明
, 当x>X时, 有
上连续知, f （x ）在分拆成两项
其中第一项当
时必趋于零. 事实上
对第二项使用第一中值定理, 存在由于
时
,
, 所以
, 使
, 从而
故证得
2． 设
在[0, 1]上连续, 求证:
【答案】分两种情况讨论.
（1）如果f （X ）在[0, 1]上不变号, 则
即要证的不等式成立.
如果f （x ）在[0, 1]上变号, 则存在又因为f （x ）在[0, 1]上连续, 存在
, 使得
使得
f
故有
（用微积分基本定理）
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从而
上有界. 综合上面
知, 对于数1, 存在内有界, 又由f （x ）在上有界. 设
, 将
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即要证的不等式成立.
3
．
若f （x ）在R
上存在三阶连续导数,
且
, 有
*
证明:f
（x ）至多是二次多项式. 【答案】只需证:将
在
X 处作泰勒展开
将上两式代入所给的等式中, 比较两端可得
当
时, 有
由三阶导数的连续性, 有
4． 证明:若级数
收敛,
绝对收敛,
则级数收敛, 则
其部分和数列
也收敛.
有界. 设存在
正数M ,
使得
【答案】因
为级
数
又因为即
收敛, 从而
绝对收敛, 由阿贝尔变换知
又由即
, 收敛可知收敛. 设
则
所以 即
收敛.
二、解答题
第 3 页，共 26 页
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5． 若曲线以极坐标表示, 试给出计算
的公式, 并用此公式计算下列曲
线积分:
（1）
其中L
为曲线
的一段;
（2）其中L 为对数螺线在圆r=a内的部分.
【答案】因L
的参数方程为
且
故
（1） （2）
6．
求下列函数的麦克劳林级数展开式
:
（
1
）
（2）
.
【答案】（1）
设
又
所以
〔2）
故
第 4 页，共 26 页
得
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