2018年五邑大学数学与计算科学学院903数学综合[专业硕士]之数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:在n 个正数的和为定值条件
下, 这n 个正数的乘积术中值
【答案】设令
,
的最大值为, 并由此结果推出n 个正数的几何中值不大于算
解得
由题意知, 最大值在惟一稳定点取得. 所以
故
因此
2． 设f :
可微, 且在上连续, 若存在常数c>0, 使对一切
.
试证明:（1） f 是上的一一映射; （2）对一切【答案】（1）任取所以（2）
. 因为
, 即f 是上的一一映射. , 因为f 在x 0处可微, 即
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, 均有
.
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所以使
则
由的任意性知,
.
二、解答题
3． 设f （x ）在R 上二次可微, 且
. 有
（1）写出关于h 的带拉格朗日余项的泰勒公式;
（2）求证:对, 有
;
（3）求证:
【答案】
（1）
（2）将第（1）小题得到的两个泰勒公式相减, 得
由此, 利用条件
, 即得
（3）设
, 则有
其中等号当
时, 即当
时成立. 将此h 值代入（1）式, 即得
4． 求下列函数的高阶偏导数:
（1）所有二阶偏导数； （2）所有二阶偏导数；
（3）
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（4）（5）（6）（7）
【答案】 （1）
所有二阶偏导数； ，所有二阶偏导数；
（2）
（3）（4）所以
，由归纳法知，
（5）
（6）设
则
（7）
5． 设曲线方程
（1）（2）【答案】
（1）
,
,
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,
.
, 求它在下列点处的切线方程与法线方程:
；