2018年西安建筑科技大学理学院620数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 计算线积分
【答案】记S 是平面位法向量
由斯托克斯公式得
2． 求函数
的傅里叶级数并讨论其收敛性.
【答案】因为延拓函数为按段光滑的偶函数, 故
所以由收敛定理, 当
时
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其中C 为球面被球面
与平面的交线,
从Ox 轴正向看去, C 是依反时针方向进行的.
所截下的那部分, 取上侧, 即取平面的单
又因f 延拓后在
上连续, 故上式对任
均成立.
3． 求下列函数在指定点的高阶导数:
（
1）
（2
）【答案】（1）
,
（2）
4．
设有一质量分布不均匀的半圆弧
求它对原点（0, 0）处质量为m 的质点的引力. 【答案】设引力系数为k , 则对任一点（x , y ）, 有
故
且
5．
设
, 且
求证
:
, 对于
. 且
, 使得
取
,
其线密度
（a
为常数）,
,
求
, 求,
, , , ,
, ,
, .
,
；
【答案】用反证法假设结论不成立, 那么
X=l, 2, ... ,
相应产生序列又由于但是由
6． 计算
满足
, 推知推出
, 其中L 为球面
使得
于是
, 即得矛盾, 故反证法假设不成立, 即结论成立.
:与平面x+y+z=0的交线
,
【答案】方法一 （用参数方程求解）将z=﹣x —y 代入球面方程整理可得
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令
,
代入上式得
,
所以
于是
方法二
（用对称性求解）由于积分变量x , y , z 在曲线方程中具有轮换对称性（即三个变量轮换位置, 曲线方程不变）, 所以
故
7． 求下列函数微分
:
【答案】（1
）（2）（3）（4）（5）
（6）
8． 设
【答案】
求
二、证明题
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