2018年五邑大学数学与计算科学学院616数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:
（1）（2）
【答案】（1）设收敛区间为
满足方程满足方程
,
故
且y
可在
内任意阶可导, 所以
（2
）设
数y
在
故
具有任意阶导数, 由
所以幂级数的收敛区间为
可得
所以又由
得
2． 设
（1）若（2）若【答案】（1）
, 由条件得
, 即
则由条件推出
, 求证:
, 则f 为单射, g 为满射;
, 则f 与g 互为反函数.
使得即f 为单射.
, 故g 为满射; 若
, 且和函
从而幂级数
的
二、解答题
3． （1）求表面积一定而体积最大的长方体；
（2）求体积一定而表面积最小的长方体.
【答案】（1）设长方体的长、宽、高分别为x , y , z , 表面积为限制条件为:
设
令
解得
因所求长方体体积的最大值, 且稳定点只有一个, 所以最大值定而体积最大的长方体是正立方体.
（2）设长方体的长、宽、高分别为z , y , z , 体积为v , 则表面积件:xyz=u
设
令
解得
故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体.
4． 求曲线
【答案】
上曲率最大的点.
则体积为
故表面积一
限制条
令
5． 设
【答案】如果存在某证明如下:
由又由以当
时, ,
得
时取最大值. 故
当在点
时
,
当
处曲率最大.
?
, 则由题设条件能推出使得当
时,
有
即
时
, 由于
所.
时
,
, 所以K （:r
）在
. 在何种条件下能由此推出, 使得在知,
对任给的
, 使得当从而
内, .
存在
, 对上面的, 存在
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6． 设
【答案】因为
，讨论函数的连续性和可微性.
所以函数是连续的.
因为
所以函数是可微的.
7． 计算
【答案】补充平面
其中S 为曲面
被平面Z=1所截部分的外侧. 方向向上. 有
而 从而,
8． 判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出它们的聚点与有界点:
（1）（2）（3）（4）（5）
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