当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 溶液自深18 cm 顶直径12 cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形筒中。开始时漏斗中盛满了溶液. 已知当溶液在漏斗中深为12cm 时，其表面下降的速率为1 cm/min，问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少?

，圆柱形筒中水深为h=h（t ）【答案】如图，设在t 时刻漏斗中的水深为H=H（t ）。

建立h 与H 之间内的关系：

又

即

，即

，故

，

上式两端分别对t 求导，得

当H=12时，

，此时

2． 用积分方法证明图中球缺的体积为

图

【答案】该立体可看作曲线

，

和x=0所围成的图形绕Y 轴旋转所得，因

此体积为

3． 一飞机沿抛物线路径机的速度为的反力。

【答案】

抛物线在坐标原点的曲率半径为

所以向心力为

座椅对飞行员的反力F 等于飞行员的离心力及飞行员本身的重量对座椅的压力之和, 因此,

4． 设

（1）求

（2）分别讨论在y>0且x<1且关。

【答案】（1）记

，由于

可考虑用格林公式计算J 。因为P ，Q 在点（0，0）处没定义，所以不能在C 所围的区域D 上直接用格林公式。但可在D 中挖掉以（0，0）为圆心，用格林公式，见下图。求解如下:

充分小为半径的圆所余下的区域中

，其中C 是椭圆周

时，积分

，取逆时针方向；

是否与路径无

（y 轴铅直向上, 单位为m ）作俯冲飞行。在坐标原点O 处飞

, 飞行员体重G=70 kg。求飞机俯冲至最低点即原点O 处时座椅对飞行员

以（0，0）为圆心，，在

上用格林公式得

，充分小为半径作圆周C ; （取顺时针方向）

与C

围成的区域记为

其中

取逆时针方向。

后，可用

的方程化简被积表达式，然后用格林公式得

其中

为

所围成的圆域。

，因此，在Y>0中积分

不是单联通区域，题（1）中已求出

取

使得它含在D 中，因为在D 中存在一条闭曲线

，使得

在区域D ：

且

内时，积分不是与路径无关的。

5． 把抛物线y 2=4ax及直线x=x0（x 0>0）所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转题的体积。

【答案】该体积即为

用“挖洞法“求得

（2）Y>0是单联通区域，且有区域D ：

与路径无关。

，x=x0及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得，因此体积为

6． 求下列数项级数的和:

【答案】（1）利用

取x=1, 有