2017年华东理工大学理学院817高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 一球面过原点及A （4，0，0），B （1，3，0）和C （0，0，﹣4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径
【答案】设所求球面的方程为标代入上式，得
a ²＋b ²＋c ²=R² （8-3） （a －4）²＋b ²＋c ²=R² （8-4） （a －1）²＋（b －3）²＋c ²=R² （8-5） a ²＋b ²＋（4＋c ）²=R² （8-6）
联立式（8-3）（8-4）得a=2，联立式（8-3）（8-6）得c=﹣2，将a=2代入（8-4）（8-5）并联立得b=1，故R=3.因此所求球面方程为（x －2） ²＋（y －1） ²＋（z ＋2） ²=9，其中球心坐标，半径为3. 为（2，1，﹣2）
2． 对图所示的函数f （x ），下列陈述中哪些是对的，哪些是错的
?
将己知点的坐
图
（1）（2）（3）（4）（5）（6）对每个【答案】（1）错，（2）对，因为（3）错，（4）错，（5）对，因为
但
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不存在；
不存在
存在。
存在与否，与f （x ）的值无关。
的值与f （0）的值无关。
，故
不存在。
（6）对
3． 已知
【答案】因为
于是
4． 判定下列级数是否收敛. 如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛
?
【答案】（1
）
且
（2）因对收敛.
（3）
敛，从而原级数绝对收敛.
（4
）敛法知级数
发散，又
是交错级数，满足
而
是发散的，故由比较审
且
故由
因
是公比
的等比级数，故收
是发散的，
又
故由莱布尼茨定理知原级数收敛且条件收敛.
由比值审敛法知级数
收敛，故原级数绝是交错级数，
满足
，计算在x=2处当△x 分别等于1, 0.1, 0.01时的△y 及dy 。
莱布尼茨定理知原级数收敛且条件收敛.
（级数发散。
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5
）
故
即原级数的一般项
当
由
于
时不趋于零，故该
5． 设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线y=x及直线y=x所围成，它在点（x ，y ）处的面密度
，求该薄片的质心。
【答案】
2
于是
所求质心为
。
6． 设m=3i＋5j ＋8k ，n=2i-4j-7k和p=5i＋j-4k. 求向量α=4m＋3n-p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.
【答案】 α=4m＋3n-p=4（3i ＋5j ＋8k ）＋3（2i-4j-7k ）-（5i+j-4k）=13i+7j+15k, α在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分向量为7j.
7． 求曲线
切线及法平面方程。
【答案】
与
相应的点
为，于是所求切线方程为
法平面方程为
，曲线在该点处的切向量
为
k 在与
相应的点处的
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