2017年华东理工大学理学院817高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 从斜边之长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。
【答案】设直角三角形的两直角边之长分别为求周长S 在作拉格朗日函数
令
条件下的条件极值。
则周长
解得。代入，得，于是是唯一可能的一切直
的极值点，根据问题性质可知这种最大周长的直角三角形一定存在，所以在斜边之长角三角形中，周长最大的是等腰直角三角形。
2． 求底圆半径相等的两个直交圆柱面A ，则由对称性知全部表面的面积为16A 。
2
故全部表面积为16R 。
及所围立体的表面积。
上的那一部分的面积为
【答案】如图所示，设第一卦限内的立体表面位于圆柱面
图
3． 求由曲线
，直线x=4及x 轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积。
【答案】如图，取x 为积分变量，则x 的变化范围为[0, 4]，因此体积为
图
4． 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性：
【答案】设级数的部分和为S n 。 （1）因为
所以根据定义可知级数（2）由于
发散。
从而
所以根据定义可知级数收敛。 （3）由于
从而
因为当（4） 5． 设
（1）求
（2）分别讨论在y>0且x<1且关。
【答案】（1）记
，由于
可考虑用格林公式计算J 。因为P ，Q 在点（0，0）处没定义，所以不能在C 所围的区域D 上直接用格林公式。但可在D 中挖掉以（0，0）为圆心，用格林公式，见下图。求解如下:
充分小为半径的圆所余下的区域中
，其中C 是椭圆周
时，积分
，取逆时针方向；
是否与路径无
时，
的极限不存在，所以S n 的极限不存在，即级数发散。
因
故级数发散。