2017年华东交通大学理学院821数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 为定义在R 上以h 为周期的函数，a 为实数. 证明：若f 在有界.
【答案】因为f (x ) 在得
于
是
故f (x ) 在R 上有界.
2． 证明以下数列发散：
(1) (2) (3)
.
易知，若一个数列收敛于a ，则它的任何子列也收敛于a ，
数列
收敛于1，而奇数项组成的子列的第2k 项为
收敛于一1，从
的偶数项组成的子列
而数列
(3) 令
}发散.
(2) 收敛数列必有界. 而数列
发散.
则
于是
数列
的两个子列的极限不相等，故数列
发散.
于是这个数列是无界的，从而
上有界，所以存在M>0, 使得对任意
对于任意
即
有
正
数h 的所有整数倍从小到大依次为：
必存在惟一整数k ，使
I 上有界，则f 在R 上
由于h 是f 的周期，因
而
【答案】(1)
由定理
二、解答题
3． 问下列积分是否可积（即原函数是初等函数）：
【答案】（1）原式
由此可见，
由于（2）原式
由此可见
由于
4． 求曲线
【答案】曲线质量为
5． 求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：
【答案】(1) 因又(2)
因为
收敛，故收敛域为
(3) 记
所以
收敛半径
当
时，级数为
通项为
则
故(4) 因(5)
设
收敛域为
即
时级数发散，故收敛域为故收敛半径为
：收敛域为故对任取定的
有
故级数的收敛半径为
时，级数
故收敛半径与级数
故收敛半径
收敛区间为收敛区间为
当
时，级数
均发散，故收敛域为的质量，设其线密度为
.
三个量都非整数，从而原式不可积. 三个量都非整数，从而原式不可积.
(6)
设
为
当
则
故级数收敛半径
故从而收敛区间
时，原级数可化为
对于级数因为
故级数当
收敛，又时，原级数可化为
收敛，故时，原级数收敛.
因级数(7)
发散
的，从而收敛域为(8)
则
因此级数在
时收敛，
时发散，从而可得收敛半径
收敛区域为
收敛，而级数
则
发散，
时原级数发散，从而收敛域为
故
故收敛半径时，原级数是
6． 求下列函数的导数：
（1）（2）（3）（4）（5）（6
）
以及
（7）（8）
.
在点x 三阶可导，
且
>
表示
若
存在反函
数
试用