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一、证明题

1． 设函数f 在(a , b ) 上连续，且

【答案】在(a , b )

内任取一点

使得

同理，存在

时有

使得当

时，有

由f 在(a , b ) 上连续可知，f 在区间在

上有最小值点

即存在

上连续，由闭区间连续函数的最值定理知，f

对一切

都有

由式①，②，③知，f 在(a , b ) 内能取得最小值.

2． 设

试证： (1) 存在(2) 存在

使

. 使

满足

使得

故存在(2)

令

罗尔

定理，存在再令使得

并改写. 即得

使得

则因为

使注意到

因为

. 所以根据

在

上一阶可导，在

内二阶可导，

因为

证明f 在

取

内能取到最小值.

则存在

，

【答案】(1) 依题意，存在

二、解答题

3． 求螺旋面

【答案】由于为

的面积.

所以曲面积

为可微函数，求

4． 设：

【答案】

)

5． 求下列函数的导数：

【答案】

其中

6． 判别下列积分的收敛性：

【答案】

时发散。

所以当

7． 试问集合

与集合

是否相同？

【答案】给出的两个集合是不相同的，第一个集合挖去了两条线

段

第二个集合挖去了一个点(a , b) .

8． 设向量函数

定义如下

其中定了唯一的

隐函数

并求

在

上连续，由

得

显见

det

. 确定了惟一的隐函数

因为

当

时收敛，

时发散，即当

时收敛

，

时收敛，时发散.

证明：在点的某邻域内，向量函数方程确

【答案】计算得知

所以，在

点

且

的某邻域内，向量函数方

程