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一、证明题

1． 证明：

【答案】将原不等式变形为

这样就将问题转化为求令

解之可得，在D 的内部有惟一驻点(1，1) ，且注意到，

下面求f (X ，y ) 在D 的边界上的最大值. 在y=0上，令最大值为

综上，f (x ，y ) 在D 上的最大值为

2． 设在

上连续

，

证明

【答案】因为

所以

从而

3． 设

且

是一个严格开区间套，即满足

证明：存在惟一的一点使得

【答案】由题设知

，

又

因

成立.

在区域上的最大值.

所以f (x ，y ) 在D

的内部最大值为

和

，可得驻点

此时

因此，f (x ，y ) 在y=0上的

即

同理，f (x , y ) 在x=0上的最大值为

是一个闭区间套. 由区间套定理知，

存在惟一的点

所

以

使得即

4． 证明：若函数

在点处有

【答案】

假设

使得

当

时

有

可知，存在

取

5． 设

则当

使得当时，由

则为的极大(小) 值点。

及极限的保号性知，

存在

于是此时

有

时有

由

于是此时有

故为的极大值点。同理可证，

当

时，为f 的极小值点。

在

上有

阶导数且

及

求证：【答案】将

.

在a 点作带有佩亚诺型余项的泰勒展开

对

在a 点作同样的展开，有

将上式代入式(1) 可得

比较式(2) 、式(3) ，且有故

6． 证明：若

【答案】已知

T 上增加两个分点

在

在

上可积，

上可积，故任给

则存在对

在

上也可积。 的某分割T , 使得

在

则

由微分中值定理

得到一个新的分割则由上题结论知

分割

在上的部分，构成的一个分割，记为则有

故由可积准则知，

在上可积。

二、解答题

7． 求

【答案】方法一令

在全平面上的最大最小值.

可得驻点(1，0) . 通过计算易知

，

所以(1，0) 为极小点，极小值为f (1，0) =-1.注意到

于是有

由此可见，f (x , y ) 在全平面上无最大值. 而另一方面，即f (x ，y ) 在有界闭域：方法二：先固定x ，求

. 当

或

时

上的最小值-1必是f (x , y ) 在全平面上的最小值. . 将f (x ，y ) 改写为：

显然

于是

故

又由

方法三 用配方法

.

且f (1，0) =-1即最小值为-1，无最大值.

8． 求极限

可知f (x , y ) 在

上无最大值.

【答案】由等价无穷小替换及洛必达法则得

原式