2017年哈尔滨工程大学水声工程学院814数学物理方法考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 半径为R 的圆盘上均匀带电，其电荷面密度为垂直的轴旋转。试求：
（1）在其轴线上距圆盘中心O 为x 处的磁感应强度； （2）该圆盘的磁矩是多少？
【答案】（1）如图所示，在圆环上取半径为r ，宽为dr 的圆环，则其电流奥-萨法尔定
律与三角函数关系可得，圆环在其轴线上距圆环中心O 为x 处的磁感应强度
则圆盘在其轴线上距圆盘中心O 为x 处的磁感应强度
由比
若该圆盘以匀角速度绕过圆心O 且与盘面
图
（2）由磁矩的定义，微圆环的磁矩
由题知该圆盘的磁矩为微圆环的磁矩的积分，有
2． 已知大气压强为1高的水银柱，水银的密度为。一粗细均匀的刚性细管由长度均为1的两部分组成，其 中一部分沿水平方向，另一部分沿竖直方向，细管的横截面积为S 。细管一端封闭，另一端敞开，管中有一段长 度为1/2的水银柱，开始时，水银柱刚好位于细管水平部分的右半部并处于平衡状态，被封闭的气柱长度为1/2， 如图所示。现使气柱中的气体缓慢膨胀，直到水银从细管的开口端全部逸出为止。
（1）求整个过程中封闭气柱中的气体压强p 与气柱长度x 的函数关系； （2）已知封闭气柱中气体的定容摩尔热容
其中R 为气体普适常量，求在整个过程
中封闭气柱中的气体与外界交换的热量（忽略水银柱与气柱之间的热交换）。
图
【答案】（1）在缓慢膨胀的过程中，气柱处于热力学平衡态，水银柱处于力学平衡状态。
当当
时，
时，
（2）膨胀过程中，气体对外做功为
根据内能的定义，气体内能増加为
由热力学第一定律可以得到膨胀过程中气体从外界吸收的热量
3． 如图所示，有一长的带电细杆。（1）电荷均匀分布，线密度为元dx 对P
点的点电荷的电场力为何？
受的总电场力为何？ （2）若
则P 点的电场强度是多少？（如图所示选择坐标系）
则杆上距原点x 处的线，（正电荷）
图
【答案】取线元dx 为研究对象，该线元可以看成一个点电荷。则该点电荷在P 点处产生的电场强度为：
则
所受的电场力为：
所受到的总电场力为：
（2）P 点处总的电场强度为：
当
时，代入到④式可得：
4． 已知质点位矢随时间变化的函数形式为点的轨道； （2）速度和速率。
【答案】（1）根据题目已知条件，质点运动方程的直角坐标分量式为
将以上两式平方后两端相加，得
这是直角坐标系中圆曲线的标准形式，表明质点运动的轨道是半径为R 的圆。 （2）根据定义，质点速度分量为
则质点速度为
其中ra 为常量。求（1）质