2017年南开大学数学科学学院716数学分析高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
2． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 3． 设A 为4×3矩阵，是非齐次线性方程组常数，则 的通解为（ ） 第 2 页，共 40 页 使AB=0, 则（ ） . 由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D. 由AB=0，左乘 可得 矛盾，从而否定A ，故选 时， 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 的3个线性无关的解，为任意 【答案】C 【解析】由 于又显然有基础解系. 考虑到 4． 设次型. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】方法1 用排除法令 则 这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2 所以当方法3 设 时，f 为正定二次型. 对应的矩阵为A ，则 A 的3个顺序主子式为 所以当方法4令 时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）. 为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1 是 的一个特解，所以选C. 则当（ ）时，此时二次型为正定二 （否则与 是非齐次线性方程 组，所以有解矛盾） 的三个线性无关的解，所 以从而 是 的一个 是对应齐次线性方程组 的两个线性无关的解. 第 3 页，共 40 页 所以f 为正定的. 5． 设 又 则（ ）• 【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得 即 由②有 为空间的两组基，且 二、分析计算题 6． 设 均为n 维线性空间V 的线性变换，若 则与有公共的特征值和特征向量. 【答案】设记 则由维数定理，得 故特征值. 7． 设 【答案】由 记上式右端的n 阶方阵为A , 则 于是 第 4 页，共 40 页 取则故是0是公共的的公共的特征向量， 是数域P 上线性空间V 的基，问是V 的基吗？为什么？ 是V 的基是奇
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