2017年南开大学数学科学学院716数学分析高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出. 线性相关，故选D.
2． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
3． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解
第 2 页，共 40 页
C. 如果A 有阶子式不为零，则
D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
只有零解
【解析】秩未知量个数，有零解.
4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
5． 设线性方程组的解都是线性方程组
【答案】（C ） 【解析】设即证秩
的解空间分别为
则
所以
的解，则（ ）。
二、分析计算题
6． 设m ，n 为正整数且
又
计算以下n 阶行列式
【答案】根据组合公式行，得
故可从D 的第n 行开始，由下而上，每行都减上一
再对第行如法炮制，如此继续下去，即得一个主对角线上元素全为
第 3 页，共 40 页
（即1）
的上三角形行列式，因此，D=l.
7． 已知分块形矩阵
【答案】（1）（2）解法1 令
其中
块，
可逆，其中B 为
块.C 为
求B 与C 都可逆，并求
即证B ，C 都可逆.
块. 那么由
可得
所以C 可逆，由③，④解
得
故
解法2 用广义行初等变换
8． 证明
将它们代入①，②又B 可逆，可解
得
【答案】
9． 证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是，它的秩等于2 和符号差等于0, 或者秩等于1.
【答案】必要性. 如果实二次型有两种可能：
第 4 页，共 40 页
可分解成两个一次齐次多项式的乘积：